EL TEOREMA DE LA INCOMPLETITUD:
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas delogica matematica demostrados por kurt gödel en 1930. Ambos están relacionados con la existencia depropociciones indecidibles en ciertas teorías arimeticas.
El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los numeros naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen sentencias que no pueden probarse ni refutarse. Las teorías aritméticas para las que el teorema es válido son básicamente aquellas en las que la deducción de teoremas puede realizarse mediante un algoritmo.
La prueba del teorema es totalmente explícita: en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en términos de números naturales es verdadera.
El segundo teorema de incompletitud es un caso particular del primero: afirma que una de las sentencias indecidibles de dicha teoría es aquella que "afirma" la consistencia de la misma. Es decir, que si es sistema en cuestión es consistente, no es posible probarlo dentro del propio sistema.
Los teoremas de incompletitud de Gödel son uno de los grandes avances de la lógica matemática, y supusieron —según la mayoría de la comunidad matemática— una respuesta negativa al segundo problema de hilbert.
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